Question

【题目】已知，函数．

（1）当时，写出的单调递增区间（不需写出推证过程）；

（2）当时，若直线与函数的图象相交于两点，记，求的最大值；

（3）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）

【解析】

（1）当时，，由此能求出的单调递增区间;

（2）由，得当时，的图象与直线没有交点；当 或 时，y=f（x）的图象与直线只有一个交点；当时，；当时，由，得，由，得，由此能求出的最大值;

（3）要使关于x的方程有两个不同的实数根，则，且，根据，且进行分类讨论能求出的取值范围．

（1）当时，

在和单调递增

（2）因为x＞0，所以

（ⅰ）当a＞4时，，函数的 ，

函数的图像与直线y＝4没有交点；

（ⅱ）当a＝4时， ，函数的最小值是4，

的图象与直线只有一个交点；

当时， 与有1个交点，交点坐标，不满足条件；

（ⅲ）当0＜a＜4时，

即

，

，

；

（ⅳ）当a＜0时，如图：

由

得,

解得；

由，

得

解得.

所以.

综上：的最大值是4.

（Ⅲ）要使关于的方程 （*）

当时，去绝对值得，解得，不成立，舍；

当时，去绝对值 ，

化简为：，不成立，舍；

当时，，，也不成立，舍；

.

（ⅰ）当时，由（*）得，

所以，不符合题意；

（ⅱ）当时，由（*）得，其对称轴，不符合题意；

（ⅲ）当，且时，

当时，，，

整理为：，不成立，

当时，

要使直线与函数图像在内有两个交点，

当时，，当时，

只需满足 ，

解得：；①

当时

，

整理得： ，

若在区间方程有2个不等实数根，只需满足

，

解得： ②，

综上①②可知，的范围是

综上所述，a的取值范围为.