Question

【题目】在正四棱锥中，E，F分别为棱VA，VC的中点．

（1）求证：EF∥平面ABCD；

（2）求证：平面VBD⊥平面BEF．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）由题意E，F分别为棱VA，VC的中点，得EF∥AC，利用线面平行的判定定理，即可证得EF∥平面ABCD．

（2）连结，交于点，连结，则，进而得，进而证得

EF⊥VO，EF⊥BD，由线面垂直的判定定理，得到，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面VBD⊥平面BEF．

（1）因为E，F分别为棱VA，VC的中点，

所以EF∥AC，

又因为，，

所以EF∥平面ABCD．

（2）连结，交于点，连结．

因为为正四棱锥，

所以．

又，所以．

又因为，EF∥AC，

所以EF⊥VO，EF⊥BD．

又，，

所以，

又，所以平面VBD⊥平面BEF．