Question

已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF₂-F₁F₂=0，若椭圆的离心率等于
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可知AF₂⊥F₁F₂，根据椭圆离心率可设椭圆方程可以写成x²+2y²=a²，再将A（c，y_A），代入方程得y_A=a，求出A的坐标，从而得出直线AB的斜率进而得到直线AB的方程；
（Ⅱ）连接AF₁、BF₁，由椭圆的对称性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，据此求出a，b的值，从而得到椭圆方程；
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8，再利用点到直线AB的距离公式，求出点M到直线AB的距离d，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（Ⅰ）由知AF₂⊥F₁F₂
∵椭圆离心率等于，所以c=a，b²=a²，故椭圆方程可以写成x²+2y²=a²，
设A（c，y_A），代入方程得y_A=a，所以A（a，a），
故直线AB的斜率k=，因此直线AB的方程为y=（4分）
（Ⅱ）连接AF₁、BF₁，由椭圆的对称性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，
所以故椭圆方程为（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2=4
假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8，设点M到直线AB的距离为d，则应有，所以d=4
设M所在直线方程为x-2y±4=0与椭圆方程联立消去x得方程4y²±8y+32=0
即y²±2y+8=0，∵△=（±2）²-4×8＜0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8（14分）
点评：本小题主要直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆方程等基础知识，当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．