Question

【题目】已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：以 为直径的圆过坐标原点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：

(1)利用离心率结合椭圆所过的点得到关系 的方程组，求解方程组即可求得椭圆的标准方程；

(2)分类讨论，当斜率不存在的时候单独考查，当斜率存在的时候设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和平面向量的结论证得 即可.

试题解析：

（Ⅰ）点， 分别为椭圆的左右焦点，椭圆的方程为；

由离心率为得： ；

过点得： ；

所以， ， ；椭圆方程为；

（Ⅱ）由（1）知， ；令， ；

当直线的斜率不存在时，直线方程为；

此时， ，不满足；设直线方程为；

代入椭圆方程得：

韦达定理： ， ；

所以， ，

；

所以， ；

点到直线的距离为；

所以，由得： ；

所以，以为直径的圆过坐标原点