题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x∈R．
（Ⅰ）若a=3，求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，2]，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=x³-x²+2，f（2）=6，f'（x）=3x²-2x，f'（2）=8，
∴切线方程为：y=8x-10
（Ⅱ）f'（x）=x（ax-2），
（1）a=0时，f'（x）=-2x，f（2）=-2＜0，不符合题意，所以a≠0；
（2）f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ，即a≥1时，

x	-1	（-1，0）	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	2
f'（x）		+	0	$\text{[math]}$	0	+
f（x）	$\text{[math]}$	增	极大值2	减	极小值 $\text{[math]}$	增	$\text{[math]}$

由a≥1得， $\text{[math]}$ ．
∴只需 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，解得1≤a＜3
（3） $\text{[math]}$ ，即0＜a＜1时，

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	$\text{[math]}$
f（x）	$\text{[math]}$	增	极大值2	减	$\text{[math]}$

0＜a＜1时， $\text{[math]}$ ，只需 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
（4）a＜0时， $\text{[math]}$ ，不符合题意．
综上， $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）确定切点的坐标，求导函数，确定切线的斜率，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求导函数，再分类讨论：（1）a=0时，不符合题意；（2）a≠0时，f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或 $\text{[math]}$ ，确定函数的最值，结合f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确求导，合理分类是关键．