Question

【题目】若存在直线l与曲线和曲线都相切,则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命

题：

①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；

②曲线和曲线是“相关曲线”；

③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；

④必存在正数使得曲线 和曲线 为“相关曲线”.

其中正确命题的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①判断两圆相交即可；②判断两双曲线是共轭双曲线即可；③判断两曲线可能相切即可；；④假设直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，根据公切线重合，判断方程有实数解即可.

①圆心，半径，圆心，半径，，因为，所以曲线与曲线有两条公切线，所以①正确；②曲线和曲线是“相关曲线”是共轭双曲线（一部分），没有公切线，②错误；③由，消去，得：，即，令得：，当时，曲线与曲线相切，所以存在直线与曲线与曲线都相切，所以③错误；④假设直线与曲线和曲线都相切，切点分别为和，，，所以分别以和为切点的切线方程为，，由得：，令，则，令，得：（舍去）或，当时，，当时，，所以，所以方程有实数解，所以存在直线与曲线和曲线都相切，所以④正确．所以正确命题的个数是，故选B．