Question

【题目】如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）由可得．又由题意得平面，故有，于是平面，根据面面垂直的判定可得结论成立．（2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件求得平面的法向量，又平面的一个法向量为，然后根据及图形可得所求余弦值．

详解：(1)证明：因为，是棱的中点，

所以．

又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，

所以平面，

又平面，

则．

因为，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

故，

设平面的法向量为，

则，即，

令，得，

由（1）知平面的一个法向量为，

所以.

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.