Question

8．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosa}\\{y=\sqrt{2}+sina}\end{array}\right.$（a为参数），曲线C₂的方程：ρ=$\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）从C₂上任意一点P作曲线C₁的切线，设切点为Q，求切线长PQ的最小值及此时点P的极坐标．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosa}\\{y=\sqrt{2}+sina}\end{array}\right.$（a为参数），消去参数可得：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=1．曲线C₂的方程：ρ=$\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$，化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=8$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（II）如图所示，过圆心C₁作C₁P⊥直线C₂，垂足为点P，此时切线长PQ最小．利用点到直线的距离公式可得|C₁P|．|PQ|=$\sqrt{|{C}_{1}P{|}^{2}-{r}^{2}}$，直线C₁P的方程为：y=x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-8\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得P，利用$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$即可得出P极坐标．

解答 解：（I）曲线C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosa}\\{y=\sqrt{2}+sina}\end{array}\right.$（a为参数），消去参数可得：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=1．
曲线C₂的方程：ρ=$\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$，化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=8$，∴x+y-8$\sqrt{2}$=0
（II）如图所示，过圆心C₁作C₁P⊥直线C₂，垂足为点P，此时切线长PQ最小．
|C₁P|=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=6．
∴|PQ|=$\sqrt{|{C}_{1}P{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{35}$，
直线C₁P的方程为：y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-8\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得x=y=4$\sqrt{2}$．
∴P$（4\sqrt{2}，4\sqrt{2}）$，
∴$ρ=\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=8，
$tanθ=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=1，θ=$\frac{π}{4}$．
∴P$（8，\frac{π}{4}）$．

点评 本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．