Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若$\frac{sinA}{2a}$+$\frac{cosB}{b}$=0，求$\frac{cos（2π-B）}{cos（\frac{π}{2}-B）-2cosB}$的值；
（Ⅱ）若cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{a+c}{2a}$，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得tanB，cosB≠0，由诱导公式化简所求后代入即可求值．
（Ⅱ）由倍角公式化简已知可得cosB=$\frac{a}{c}$，由余弦定理可解得：c²+b²=a²，从而由勾股定理可判定△ABC为直角三角形．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{sinA}{2a}$+$\frac{cosB}{b}$=0，由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，
∴可得：$\frac{sinA}{2×2RsinA}+\frac{cosB}{2RsinB}$=0，解得：tanB=-2，cosB≠0，
∴$\frac{cos（2π-B）}{cos（\frac{π}{2}-B）-2cosB}$=$\frac{cosB}{sinB-2cosB}$=$\frac{1}{tanB-2}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）∵cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{a+c}{2a}$，即有：$\frac{1+cosB}{2}=\frac{a+c}{2a}$，解得：cosB=$\frac{a}{c}$，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{a}{c}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，解得：c²+b²=a²，
∴由勾股定理可得△ABC为直角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，倍角公式，诱导公式的综合应用，属于基本知识的考查．