Question

设，方程f（x）=x有唯一解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），且．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若，求和S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）问：是否存在最小整数m，使得对任意n∈N^*，有成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由方程f（x）=x有唯一解，解得a，从而得到f（x）．
再由f（x₁）=，解得x₁最后由f（x_n）=x_n+1得到由等差数列的定义求解．
（2）将x_n代入a_n可求得a_n，再代入b_n=解得b_n，最后由错位相消法求和．
（3）由f（x_n）=x_n+1＜恒成立，用最值法求解，只要即可．
解答：解：（1）∵方程f（x）=x有唯一解，
∴
∴．，即
∴，
又由∵f（x_n）=x_n+1
∴
数列是首项为，公差为的等差数列（4分）
故
∴．（6分）

（2）将x_n代入a_n可求得，
∴．
∴．（10分）

（3）∵对n∈N^*恒成立，
∴只要即可，
而．（12分）
即要，∴m＞2，故存在最小的正整数m=3．（14分）
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的定义，通项及错位相消法求和，同时，还考查了构造数列研究通项及前n项和及恒成立问题．