题目内容

若a＞2，则函数f（x）= $数学公式$ x³-ax²+1在区间（0，2）上恰好有________个零点．

1
分析：由已知中a＞2，可得f（0）=1＞0，f（2）= $\text{[math]}$ -4a＜0即函数在区间（0，2）上有零点，进而根据f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），当a＞2时，在区间（0，2）上f′（x）＜0恒成立，可得函数在区间（0，2）上递减，至多有一个零点，可得答案．
解答：∵f（x）= $\text{[math]}$ x³-ax²+1
∴f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），当a＞2时
在区间（0，2）上f′（x）＜0恒成立
即函数f（x）= $\text{[math]}$ x³-ax²+1区间（0，2）上为减函数
又∵f（0）=1＞0，f（2）= $\text{[math]}$ -4a＜0
故函数f（x）= $\text{[math]}$ x³-ax²+1在区间（0，2）上有且只有一个零点
故答案为1
点评：本题考查的知识点是函数零点判定定理，其中正确理解单调函数在区间上至多有一个零点，是解答本题的关键．

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给出下列四个命题：
①“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
②若a＜-2，则函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点；
③函数y=2

]上是单调递减函数；
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4．
其中真命题的序号是

．（请把所有真命题的序号都填上）．

（2011•西城区二模）若a＞2，则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为（　　）

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