题目内容
已知椭圆E：
（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF1⊥F1F2，
。
（1）求椭圆E的方程和P点的坐标；
（2）判断以PF2为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系；
（3）若点G是椭圆C：
（m>n>0）上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系。
（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF1⊥F1F2，。（1）求椭圆E的方程和P点的坐标；
（2）判断以PF2为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系；
（3）若点G是椭圆C：
（m>n>0）上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系。解：（1）∵P在椭圆E上，
∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2
∵PF1⊥F1F2，
∴ |F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=
2c=2，c=1，
∴b2=3
所以椭圆E的方程是
∵F1（-1，0），F2（1，0），
∵PF1⊥F1F2，
∴
。
（2）线段PF2的中点
∴以
为圆心，PF2为直径的圆M的方程为
圆M的半径
以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，圆心为O（0，0），半径为R=2，
圆M与圆O的圆心距为
所以两圆相内切。
（3）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切，
设F′
是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m>0），
∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，
则有|GF|+|CF'|=2m，
则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为
，
以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m，
两圆圆心O，M分别是FF'和FG的中点，
∴两圆心间的距离
R-r
所以两圆内切。
∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2
∵PF1⊥F1F2，
∴ |F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=
2c=2，c=1，
∴b2=3
所以椭圆E的方程是
∵F1（-1，0），F2（1，0），
∵PF1⊥F1F2，
∴
。（2）线段PF2的中点
∴以
为圆心，PF2为直径的圆M的方程为圆M的半径
以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，圆心为O（0，0），半径为R=2，
圆M与圆O的圆心距为
所以两圆相内切。
（3）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切，
设F′
是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m>0），
∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，
则有|GF|+|CF'|=2m，
则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为
，以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m，
两圆圆心O，M分别是FF'和FG的中点，
∴两圆心间的距离
R-r所以两圆内切。
练习册系列答案
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，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为
．