Question

如图，已知椭圆E：（a＞b＞0），焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，探求k₁和k₂的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形ABF₂的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为可求出a，b的值，再利用双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点进而可求出m的值．
（2）可利用斜率公式k=表示出k₁，k₂再探求k₁和k₂的关系，关系无非就是和，差，积，商．
（3）牵涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦长公式，因而需要联立方程，故需要把直线AB的方程设出来联立方程代入计算即可．
解答：解：（1）由题意知，椭圆中
所以椭圆的标准方程为
又顶点与焦点重合，所以m=c²=a²-b²=4；
所以该双曲线的标准方程为．
（2）设点P（x，y），x≠±2
P在双曲线上，所以y²=x²-4所以k₁•k₂=1
（3）设直线AB：y=k₁（x+2）k₁≠0
由方程组得（2k₁²+1）x²+8k₁²x+8k₁²-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以
由弦长公式
同理
由代入得
所以存在使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．
点评：此题第一问较简单属基础，第二问较复杂，一般情况下的关系无非就是和，差，积，商，关键是P在双曲线上，所以y²=x²-4然后代入计算．第三问是平常较常见的类型，主要是计算繁琐，只要计算不出错都可以达到目的．