Question

已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，点D（0，1）在且椭圆E上，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点F₂且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G（t，0），求点G横坐标的取值范围．
（Ⅲ）试用表示△GAB的面积，并求△GAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由点D（0，1）在且椭圆E上，知b=1，由e=，得到，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）法一：设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入+y²=1，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．有直线AB过椭圆的右焦点F₂，知方程有两个不等实根．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x，y），由此利用韦达定理能够求出点G横坐标t的取值范围．
法二：设直线AB的方程为x=my+1，由得（m²+2）y²+2my-1=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x，y），则，．得． 所以AB垂直平分线NG的方程为y-y=-m（x-x）．令y=0，得，由此能求了t的取值范围．                           
（Ⅲ）法一：．而，由，，可得，所以．再由|F₂G|=1-t，得（）．设f（t）=t（1-t）³，则f′（t）=（1-t）²（1-4t）．由此能求出△GAB的面积的最大值．
法二：而，由，可得．所以．又|F₂G|=1-t，所以．△MPQ的面积为（）．设f（t）=t（1-t）³，则f'（t）=（1-t）²（1-4t）．由此能求出△GAB的面积有最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵点D（0，1）在且椭圆E上，
∴b=1，
∵===，
∴a²=2a²-2，
∴，
∴椭圆E的方程为（4分）
（Ⅱ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入+y²=1，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的右焦点F₂，
∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x，y），
则x₁+x₁=，，（6分）
∴AB垂直平分线NG的方程为．
令y=0，得．（8分）
∵k≠0，∴．
∴t的取值范围为．（10分）
解法二：设直线AB的方程为x=my+1，
由可得（m²+2）y²+2my-1=0．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x，y），
则，．
可得．                     （6分）
∴AB垂直平分线NG的方程为y-y=-m（x-x）．
令y=0，得．（8分）
∵m≠0，∴．
∴t的取值范围为．                           （10分）

（Ⅲ）解法一：．
而，
∵，由，可得，，．
所以．
又|F₂G|=1-t，
所以（）．（12分）
设f（t）=t（1-t）³，则f′（t）=（1-t）²（1-4t）．
可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．
所以，当时，f（t）有最大值．
所以，当时，△GAB的面积有最大值．（14分）
解法二：
而，
由，可得．
所以．
又|F₂G|=1-t，
所以．
所以△MPQ的面积为（）．（12分）
设f（t）=t（1-t）³，
则f'（t）=（1-t）²（1-4t）．
可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．
所以，当时，f（t）有最大值．
所以，当时，△GAB的面积有最大值．（14分）
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．