Question

5．函数f（x）=x+$\frac{1}{x-3}$（x＞3）的值域为[5，+∞）．

Answer 1

分析 原函数可变成f（x）=（x-3）+$\frac{1}{x-3}$+3，而由x＞3便得到x-3＞0，从而根据基本不等式即可得出原函数的值域．

解答 解：f（x）=$（x-3）+\frac{1}{x-3}+3$；
∵x＞3；
∴x-3＞0；
∴$（x-3）+\frac{1}{x-3}≥2$（当且仅当$（x-3）=\frac{1}{x-3}$，即x=4时取“=”）；
∴f（x）≥5；
∴原函数的值域为：[5，+∞）．
故答案为：[5，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，应用基本不等式求函数值域的方法，注意基本不等式成立的条件．