题目内容
已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn．
证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．
练习册系列答案
各地期末复习特训卷系列答案
小博士期末闯关100分系列答案
相关题目