Question

已知1≤x≤2，2≤y≤3，当x，y在可取值范围内变化时，不等式xy≤ax²+2y²恒成立，则实数a的取值范围是

[-1，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意，分离参数，再用换元法，确定函数的最值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：由题意，分离参数可得a≥-2(

y

x

)2+

y

x

，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=

y

x

，则1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t²+t=-2（t-

1

4

）²+

1

8

∵1≤t≤3，
∴y_max=-1，
∴a≥-1
故答案为：[-1，+∞）．

点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类参数法的运用，属于中档题．