Question

已知1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x3

y

≤3，则lg

x3

3 y

的取值范围是

[

26

15

，3]

．

Answer 1

分析：由于1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x3

y

≤3，则

1≤lgx-lgy≤2 2≤3lgx- 1 2 lgy≤3

，利于线性规划的有关知识来求出lg

x3

3 y

=3lgx-

1

3

lgy的范围．

解答：解：由于1≤lg

x

y

≤2，2≤lg

x3

y

≤3，则

1≤lgx-lgy≤2 2≤3lgx- 1 2 lgy≤3

，且lg

x3

3 y

=3lgx-

1

3

lgy
若令lgx=a，lgy=b，则问题及转化为求在线性约束

1≤a-b≤2 2≤3a- 1 2 b≤3

条件下的Z=3a-

1

3

b的最值问题．
画出可行域，如图中阴影部分所示，

而直线Z=3a-

1

3

b上下平移在虚线位置分别取得最值，
由

a-b=2 3a- 1 2 b=2

得到A(

2

5

，-

8

5

)，此时Z=

26

15

由

a-b=1 3a- 1 2 b=3

得到B（1，0），此时Z=3
则lg

x3

3 y

的取值范围是[

26

15

，3]，
故答案为 [

26

15

，3]

点评：本题主要考查了对数的运算性质以及线性规划，熟记一些常用的结论可以简化基本运算．