题目内容
已知：f（x）=2| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（I）利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=2
cos2x+sin2x-
+1，为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期；
（II）将2x+
看成整体在[2kπ-
，2kπ+
]上单调递增，然后求出x的取值范围，从而求出函数的单调增区间．
（III）根据x∈[-
，
]，求出2x+
的范围，从而求出sin（2x+
）的取值范围，从而求出f（x）的值域．
| 3 |
| 3 |
（II）将2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（III）根据x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：f（x）=sin2x+
（2cos2x-1）+1
=sin2x+
cos2x+1
=2sin（2x+
）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T=
=π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
得2kπ-
≤2x≤2kπ+
∴kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z
函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因为x∈[-
，
]，∴2x+
∈[-
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-
，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
（Ⅱ）由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
得2kπ-
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
函数f（x）的单调增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅲ）因为x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴sin（2x+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．
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