Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，
（I）若x=

2

3

是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间[

3

2

，2]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，且x=

2

3

是函数f（x）的极值点，就可得到函数在x=1和x=

2

3

处的函数值，代入导函数，就可求出参数a，b的值，得到函数解析式．
（II）先由（I）确定函数的解析式（只含参数b），再将函数f（x）在区间[

3

2

，2]上单调递增问题转化为恒成立问题，即f′（x）≥0在区间[

3

2

，2]上恒成立，最后利用参变分离法，通过求最值得参数b的取值范围

解答：解：（I）f（x）=x³+ax²+bx+2的导数为f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在x=1处的切线与直线x+3y+1=0垂直，∴f（x）在x=1处的切线斜率为3
∴f′（1）=3，即3+2a+b=3  ①
又∵x=

2

3

是函数f（x）的极值点，∴f′（

2

3

）=0．
即

4

3

+

4a

3

+b=0  ②
由①②可得，a=2，b=-4
∴f（x）的解析式为f（x）=x³+2x²-4x+2
（II）若函数f（x）在区间[

3

2

，2]上单调递增，则f′（x）≥0在区间[

3

2

，2]上恒成立，
由（I）可知，2a+b=0，∴a=-

1

2

b，代入f′（x）=3x²+2ax+b，得f′（x）=3x²-bx+b
∴3x²-bx+b≥0在区间[

3

2

，2]上恒成立．
∴b≤

3x2

x-1

在区间[

3

2

，2]上恒成立
令g（x）=

3x2

x-1

，则g（x）=

3(x-1)2+6(x-1)+3

x-1

=3（x-1）+

3

x-1

+6，
当x∈[

3

2

，2]时，3（x-1）+

3

x-1

+6≥6+6=12，当且仅当x=2时，等号成立
∴当x∈[

3

2

，2]时，g（x）有最小值为12，
∴b≤12

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数极值的关系，导数在解决函数单调性问题中的应用，不等式恒成立问题及其解法