Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ），（A＞0，w＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-6，

2

3

]时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由图象直接求出A和T，可求w，根据特殊点（-1，0）求出φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-6，

2

3

]时，化简函数y=f（x）+f（x+2）的表达式，化为y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）的形式，根据x的范围求其最大值与最小值及相应的x的值．

解答：解：（1）由图象知A=2，T=8，
∵T=

2π

w

=8，∴w=

π

4

．
又∵图象经过点（-1，0），
∴2sin（-

π

4

+φ）=0．
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）y=f（x）+f（x+2）
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin（

π

4

x+

π

2

+

π

4

）
=2

2

sin（

π

4

x+

π

2

）
=2

2

cos

π

4

x，
∵x∈[-6，

2

3

]，∴-

3π

2

≤

π

4

x≤

π

6

．
∴当

π

4

x=0，即x=0时，
y=f（x）+f（x+2）的最大值为2

2

，
当

π

4

x=-π，即x=-4时，最小值为-2

2

．

点评：本题考查三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其解析式，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．