题目内容

已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动（异于A、B两点）．
（Ⅰ）求证： $数学公式$ • $数学公式$ 与点P在⊙O上的位置无关；
（Ⅱ）当 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角θ取何值时， $数学公式$ • $数学公式$ 有最大值．

证明：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，∴AP⊥BP，
∴ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∵P为MN的中点，且 $\text{[math]}$ =20，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）-100= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -100，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 仅与 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴当θ=0时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 取最大值为0．
分析：（Ⅰ）由AB为⊙O的直径得 $\text{[math]}$ ，利用向量的加法和减法运算来表示 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，由向量数量积的运算和条件进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）化简的结果和向量夹角的范围，求出夹角的余弦值的最大值代入，求出两个向量数量积的最大值．
点评：本题考查了利用向量的线性运算和数量积运算，进行向量式子的求值和求解，主要根据图形的特点和条件进行转化，进而利用条件和夹角的范围求出式子的值．