题目内容
已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动（异于A、B两点）．（Ⅰ）求证：
| AM |
| BN |
（Ⅱ）当
| MN |
| AB |
| AM |
| BN |
分析：（Ⅰ）由AB为⊙O的直径得
•
=0，利用向量的加法和减法运算来表示
•
，由向量数量积的运算和条件进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）化简的结果和向量夹角的范围，求出夹角的余弦值的最大值代入，求出两个向量数量积的最大值．
| AP |
| BP |
| AM |
| BN |
（Ⅱ）根据（Ⅰ）化简的结果和向量夹角的范围，求出夹角的余弦值的最大值代入，求出两个向量数量积的最大值．
解答：证明：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，∴AP⊥BP，
∴
⊥
，则
•
=0，
∵P为MN的中点，且|
|=20，∴
=
，
= |
|=10，
∴
•
=（
+
）（
+
）=（
-
）（
+
）
=
•
+
•
-
•
-
•
=
（
-
）-100=
•
-100，
∴
•
仅与
•
的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
•
=
•
-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴当θ=0时，
•
取最大值为0．
∴
| AP |
| BP |
| AP |
| BP |
∵P为MN的中点，且|
| MN |
| MP |
| PN |
| |MP| |
| PN |
∴
| AM |
| BN |
| AP |
| PM |
| BP |
| PN |
| AP |
| PN |
| BP |
| PN |
=
| AP |
| BP |
| AP |
| PN |
| PN |
| BP |
| PN |
| PN |
=
| PN |
| AP |
| BP |
| 1 |
| 2 |
| MN |
| AB |
∴
| AM |
| BN |
| MN |
| AB |
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
| AM |
| BN |
| 1 |
| 2 |
| MN |
| AB |
∵0≤θ＜π，∴当θ=0时，
| AM |
| BN |
点评：本题考查了利用向量的线性运算和数量积运算，进行向量式子的求值和求解，主要根据图形的特点和条件进行转化，进而利用条件和夹角的范围求出式子的值．
练习册系列答案
相关题目
•
与点P在⊙O上的位置无关；
与
的夹角θ取何值时，
与点P在⊙O上的位置无关； 
与
的夹角
取何值时，
有最大值。 
•
与点P在⊙O上的位置无关；
与
的夹角θ取何值时，
•
有最大值．