Question

已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动（异于A、B两点）。
（Ⅰ）求证：与点P在⊙O上的位置无关；
（Ⅱ）当与的夹角取何值时，有最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的一条直径，P为圆上一点，
∴AP⊥BP，即⊥，
∴·=0，
∵P为MN中点，||=20，
∴=，||=||=10，
∴=（+）·（+）
=（-）·（+）
=·+·-·-²
=（-）-100
=·-100=·-100，
∴仅与与的夹角有关，而与点P位置无关。
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
=100cos-100（0°≤≤180°），
∴当=0°时，取最大值0。