Question

【题目】已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点， 分别是椭圆的左、右顶点．

（）求圆和椭圆的方程．

（）已知， 分别是椭圆和圆上的动点（， 位于轴两侧），且直线与轴平行，直线， 分别与轴交于点， ．求证： 为定值．

Answer 1

【答案】（）； ；（）见解析．

【解析】试题分析：

（1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；

（2）设出， ，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得．

试题解析：

（）依题意，得， ，

∴圆方程，椭圆方程．

（）设， ，

∴， ， ，

∵方程，令时， ，

方程为，令得，

∴， ，

∴，

∴．