Question

【题目】已知椭圆 (a>b>0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若△FAB为直角三角形，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得椭圆的焦点坐标，结合离心率，从而求出椭圆的方程；（Ⅱ）由为直角三角形，对与是否垂直进行讨论，从而分别求出直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，所以焦点为圆x2+y2=3与x轴的交点，即， .

所以.

又离心率，所以a=2.

故所求椭圆方程为.

（Ⅱ）当△FAB为直角三角形时，显然直线l斜率存在，

可设直线l方程为y=kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2).

（ⅰ）当FA⊥FB时， ， .

由

消y得(4k2+1)x2-4=0.

则x1+x2=0， .

解得.

此时直线l的方程为.

（ⅱ）当FA与FB不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设.

所以解得

所以

此时直线l的方程为.

综上，直线l的方程为或.