Question

（2013•沈阳二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C的方程是x²+y²-4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁：ρ=-4

3

sinθ与圆C相交于A，B两点．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）若过点C（2，0）的曲线C₂：

x=2+ 3 2 t y= 1 2 t

（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．

Answer 1

分析：（1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值．

解答：解：（1）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
极坐标与直角坐标有关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以圆C₁的直角坐标方程为x²+y²+4

3

y=0，…（2分）
联立曲线C：x²+y²-4x=0，得

x=0 y=0

或

x=3 y=- 3

即不妨令A（0，0），B（3，-

3

），从而直线AB的直角坐标方程为：y=-

3

3

x，
所以，ρsinθ=-

3

3

ρcosθ，即tanθ=-

3

3

，…（4分）
所以直线AB的极坐标方程为θ=-

π

6

，（ρ∈R）．…（5分）
（2）由（1）可知直线AB的直角坐标方程为：y=-

3

3

x，…（6分）
依题令交点D（x₁，y₁）则有

x1=2+ 3 2 t1 y1= 1 2 t1

，
又D在直线AB上，所以，

1

2

t1=-

3

3

（2+

3

2

t₁），解得t₁=-

2 3

3

，
由直线参数方程的定义知|CD|=|t₁|=

2 3

3

，…（8分）
同理令交点E（x₂，y₂），则有

x2=2+ 3 2 t2 y2= 1 2 t2

，
又E在直线x=0上，所以2+

3

2

t2=0，解得t₂=-

4 3

3

，
所以|CE|=|t₂|=

4 3

3

，…（9分）
所以|CD|：|CE|=

1

2

．…（10分）

点评：本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，属于中等题．