题目内容
若a1＞0，a1≠1，an+1=| 2an |
| 1+an |
（1）求证：an+1≠an；
（2）令a1=
| 1 |
| 2 |
（3）证明：存在不等于零的常数p，使{
| an+P |
| an |
分析：（1）利用反证法，若an+1=an，即
=an，解得 an=0或1，结论与题干条件矛盾，
（2）根据an+1=
，a1=
，求出a2=
，a3=
，a4=
，a5=
，观察各项分子通项为2n-1，分母通项为2n-1+1，于是可以写出通项公式an，
（3）因为
=
，又
=
-q，据此可以求出（2+p-2q）an=p（1-2p），故能求出q和p的值．
| 2an |
| 1+an |
（2）根据an+1=
| 2an |
| 1+an |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 16 |
| 17 |
（3）因为
| an+1+p |
| an+1 |
| (2+p)an+p |
| 2an |
| an+1+p |
| an+1 |
| an+p |
| an |
解答：解：（1）采用反证法．若an+1=an，即
=an，解得 an=0或1，
从而an=an1=…a2=a1=0或1与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，故an+1≠an成立．
（2）a1=
，a2=
，a3=
，a4=
，a5=
，an=
．
（3）因为
=
，又
=
q，
所以（2+p-2q）an=p（1-2q），
因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q=
、p=-1．
| 2an |
| 1+an |
从而an=an1=…a2=a1=0或1与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，故an+1≠an成立．
（2）a1=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 16 |
| 17 |
| 2n-1 |
| 2n-1+1 |
（3）因为
| an+1+p |
| an+1 |
| (2+p)an+p |
| 2an |
| an+1+p |
| an+1 |
| an+p |
| an |
所以（2+p-2q）an=p（1-2q），
因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q=
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查数列递推式和等差关系的确定等知识点，熟练掌握反证法和归纳法进行数学解题，本题难度一般．
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