Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=

2an

1+an

（n=1，2，…）
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=

1

2

，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假设错误，两种不相等；
（2）把n=1及a₁=

1

2

代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值，把n=4及a₄的值代入已知的等式即可求出a₅的值，然后把求出的五项的值变形后，即可归纳总结得到这个数列的通项公式a_n．

解答：解：（1）证明：若a_n+1=a_n，
即

2an

1+an

=a_n，解得a_n=0或1．
从而a_n=a_n-1=…a₂=a₁=0或1，与题设a₁＞0，a₁≠1相矛盾，
故a_n+1≠a_n成立．
（2）由a₁=

1

2

，得到a₂=

2× 1 2

1+ 1 2

=

2

3

=

22-1

22-1+1

，
a₃=

2× 2 3

1+ 2 3

=

4

5

=

23-1

23-1+1

，
a₄=

2× 4 5

1+ 4 5

=

8

9

=

24-1

24-1+1

，
a₅=

2× 8 9

1+ 8 9

=

16

17

=

25-1

25-1+1

，
…，
则a_n=

2n-1

2n-1+1

（n∈N^*）．

点评：此题考查学生会利用反证法对命题进行证明的能力，会根据一组数据的特点归纳总结得出一般性的规律，是一道中档题．