题目内容
若a1＞0，a1≠1，an+1=
（n=1，2，…）
（1）求证：an+1≠an；
（2）令a1=
，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；
（3）证明：存在不等于零的常数p，使{
}是等比数列，并求出公比q的值．
| 2an |
| 1+an |
（1）求证：an+1≠an；
（2）令a1=
| 1 |
| 2 |
（3）证明：存在不等于零的常数p，使{
| an+P |
| an |
（1）采用反证法．若an+1=an，即
=an，解得 an=0或1，
从而an=an1=…a2=a1=0或1与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，故an+1≠an成立．
（2）a1=
，a2=
，a3=
，a4=
，a5=
，an=
．
（3）因为
=
，又
=
-q，
所以（2+p-2q）an=p（1-2p），
因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q=
、p=-1．
| 2an |
| 1+an |
从而an=an1=…a2=a1=0或1与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，故an+1≠an成立．
（2）a1=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 16 |
| 17 |
| 2n-1 |
| 2n-1+1 |
（3）因为
| an+1+p |
| an+1 |
| (2+p)an+p |
| 2an |
| an+1+p |
| an+1 |
| an+p |
| an |
所以（2+p-2q）an=p（1-2p），
因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q=
| 1 |
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