Question

（2008•河西区三模）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与平面BC₁D₁所成的角为（　　）

• A．arctan

  2

  2

• B．

  π

  6

• C．

  π

  4

• D．arctan

  1

  2

Answer 1

分析：设正方体的棱长为1，在四面体A₁B₁CD₁中，分别以三角形A₁C₁D₁与三角形BC₁D₁作底面，利用体积轮换公式即可求得底面BC₁D₁上的高h，从而可求直线A₁B与平面BC₁D₁所成角θ的正弦，继而可得答案．

解答：解：四面体A₁B₁CD₁中，
若把三角形A₁C₁D₁看作底面，则高为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长，
设棱长为1，则四面体A₁B₁CD₁的体积V=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

；
若把三角形BC₁D₁看作底面，S△BC1D1=

1

2

×BC₁×C₁D₁=

1

2

×1×

2

=

2

2

；
则四面体A₁B₁CD₁的体积V=

1

3

h•S△BC1D1=

1

3

×

2

2

h=

1

6

，
∴底面BC₁D₁上的高h=

2

2

，
∴设直线A₁B与平面BC₁D₁所成角为θ，则sinθ=

h

A1B

=

2 2

2

=

1

2

，
∴θ=

π

6

．
故选B．

点评：本题考查直线与平面所成的角，着重考查四面体A₁B₁CD₁中体积轮换公式的应用，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．