Question

14．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）g（t）=f（1），利用配方法，分类讨论，即可得出关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，e^x≥ax+2-cosx，x∈[0，+∞）恒成立，构造函数，利用当a≤0时，t′（x）≤0，即可求a的范围．

解答 解：（1）g（t）=f（1）=e²+（1-2t）e+t²=（t-e）²+e，
∴m＜e，y_min=g（m）=（m-e）²+e；m≥e，y_min=g（e）=e；
（2）f（x）≥ax+2-cosx，可化为f（x）=（e^x-t）²+e^x≥ax+2-cosx
∴e^x≥ax+2-cosx，x∈[0，+∞）恒成立
令t（x）=ax+2-e^x-cosx≤0，x∈[0，+∞）恒成立
∵t′（x）=-e^x+sinx+a，
当a≤0时，t′（x）≤0，∴t（x）在[0，+∞）是减函数，
∴t（x）_max=t（0）=0，
∴t（x）≤0，成立．
∴当a≤0时，对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx．

点评 本题考查二次函数的最小值，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．