Question

【题目】已知函数 .

（1）若，判断函数的单调性；

（2）讨论函数的极值，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 在上递增. (2)见解析

【解析】

(1)将k=1代入表达式，对函数求导，通过判断导函数的正负得到原函数的单调性；（2）对导函数继续求导，研究的单调性以及零点情况进而得到原函数的极值点的情况.

（1）当时，，，

设，

则，当时，，递减，

当时，，

递增，则，即，所以在上递增.

（2），，

设，，

当时，，递减；当时，，递增；

则；

若，即时，恒成立，即，则在递增；

若，即时，，

一方面：，而，即，

由零点存在定理知在上有一个零点，设为；

另一方面：，设，（），，

则在递增，则，即，

由零点存在定理知在有一个零点，设为；

于是，当时，，递增；

当时，，递减；

当时，，递增；故此时函数有两个极值点.