Question

已知数列{a_n}，{b_n}，其中，数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n≥1），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若数列{c_n}满足当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a_n}的通项公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=2ⁿ．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立，由此能导出m的最小值．
（Ⅲ）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）因为S_n=n²a_n（n≥1），
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1．
所以a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1．
所以（n+1）a_n=（n-1）a_n-1．
即．
又，
所以==．
当n=1时，上式成立
因为b₁=2，b_n+1=2b_n，
所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ．
则．
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立，
即恒成立．
由，解得m≥16．
所以存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立．此时m的最小值为16．
（Ⅲ）当n是奇数时，
=（2+4++n+1）+（2²+2⁴++2^n-1）=
=．
当n是偶数时，
=（2+4++n）+（2²+2⁴++2ⁿ）==．
因此
点评：本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．