题目内容
已知向量
=（2cos2x，sinx），
=（1，2cosx）．
（1）若
⊥
且0＜x＜π，试求x的值；
（2）设f（x）=
•
，试求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间．
| m |
| n |
（1）若
| m |
| n |
（2）设f（x）=
| m |
| n |
分析：（1）由题意，利用向量的坐标运算公式可求得sin（2x+
）=-
，再结合0＜x＜π，即可求x的值；
（2）利用f（x）=
sin（2x+
）+1即可求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间．
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
（2）利用f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（1）∵
⊥
，
∴
•
=0，又
=（2cos2x，sinx），
=（1，2cosx），
∴2cos2x+2sinxcosx=0，
∴cos2x+sin2x+1=0，即
sin（2x+
）=-1，
∴sin（2x+
）=-
．
∵0＜x＜π，
∴2x+
∈(
，
)，
∴2x+
=
或
，
∴x=
或
．
（2）由题意得f(x)=
sin(2x+
)+1．
令2x+
=kπ+
可得x=
+
，
∴f（x）的对称轴方程为：x=
+
；
令2x+
=kπ可得x=
-
，
∴f（x）的对称轴中心为：（
-
，1）；
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
可得kπ-
≤x≤kπ+
，
∴f（x）单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
| m |
| n |
∴2cos2x+2sinxcosx=0，
∴cos2x+sin2x+1=0，即
| 2 |
| π |
| 4 |
∴sin（2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∵0＜x＜π，
∴2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
∴2x+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
∴x=
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
（2）由题意得f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
令2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
∴f（x）的对称轴方程为：x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
令2x+
| π |
| 4 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
∴f（x）的对称轴中心为：（
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴f（x）单调递增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查正弦函数的对称性与单调性，得到f（x）=
sin（2x+
）+1是求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间的关键，属于中档题．
| 2 |
| π |
| 4 |
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