Question

已知椭圆的长轴长为2a，焦点是，点F₁到直线的距离为，过点F₂且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A，B两点，使得．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由点F₁到直线的距离为列式求出a²的值，然后利用条件b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（2）设出直线l与椭圆两个交点A，B的坐标，由得到两个交点坐标的关系式，把两个交点的坐标代入椭圆方程后可求其中一个交点的坐标，由两点式求出直线l的斜率，则直线l的方程可求．
解答：解：（1）∵F₁到直线的距离为，∴．
而c²=3，∴b²=a²-c²=4-3=1，所求椭圆的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设A为第一象限的点，且，
∵，∴，
又∵A，B在椭圆上，∴（取正值），
∴l的斜率为．
∴l的方程为，即．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的交点问题，解答此题的关键是利用向量找到两交点坐标的关系，考查了学生的运算能力，训练了直线方程的点斜式，是中档题．