题目内容

已知向量
a
=(2cos
x
2
，tan(
x
2
+
π
4
))，
b
=(
2
sin(
x
2
+
π
4
)，tan(
x
2
-
π
4
))，令f（x）=
a
•
b

（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
（2）若f（x）=-
4
2
5
且
17π
12
＜x＜
7π
4
，求
2x+2sin2x
1-tanx
的值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，化简函数f（x）的解析式为
2
sin（x+
π
4
 ），可得函数的最小正周期等于2π，在[0，
π
4
]上的单调递增．
（2）由f（x）=-
4
2
5
，可得sin（x+
π
4
 ） 的值，从而求得 tan（x+
π
4
 ） 的值，由
sin2x+2sin2x
1-tanx
=[1-2cos2(x+
π
4
)]•tan（x+
π
4
） 求出结果．
解答：解：（1）函数f（x）=
a
 •
b
=2
2
cos
x
2
sin（
x
2
+
π
4
）+tan（
x
2
+
π
4
）tan（
x
2
-
π
4
）
=2
2
cos
x
2
（
2
2
sin
x
2
+
2
2
cos
x
2
 ）+
1+ tan
x
2
1- tan
x
2
•
tan
x
2
-1
1+  tan
x
2
=2sin
x
2
cos
x
2
+2cos2
x
2
-1
=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
 ），故函数的最小正周期等于2π，f（x）在[0，
π
4
]上的单调递增．
（2）若f（x）=
2
sin（x+
π
4
 ）=-
4
2
5
，∴sin（x+
π
4
 ）=
-4
5
，由
5π
3
＜x+
π
4
＜ 2π，
∴cos（x+
π
4
 ）=
3
5
，∴tan（x+
π
4
 ）=
-4
3
，
∴
sin2x+2sin2x
1-tanx
=sin2x•
1+tanx
1-tanx
=-cos（2x+
π
2
 ）•tan（x+
π
4
）=[1-2cos2(x+
π
4
)]•tan（x+
π
4
） 
=[1-2(
3
5
)2]•（-
4
3
）=-
28
75
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，式子的变形是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(2cosx，cos2x)，
b
=(sinx，1)，令f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ） 求 f （
π
4
）的值；
（Ⅱ）求x∈[-
π
2
，
π
2
]时，f （x）的单调递增区间．
已知向量
a
=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，
b
=(cosx， -1)，定义f(x)=
a
•
b

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值及取得最大值时的x．
（2012•肇庆二模）已知向量
a
=(2cosx，-2)，
b
=(cosx，
1
2
)，f(x)=
a
•
b
，x∈R，则f（x）是（　　）
已知向量
a
=(2cosx，
3
sinx)，
b
=(cosx，2cosx)，设函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的值域．
已知向量
a
=(2cosx，
3
sinx)，
b
=(cosx，2cosx)，若f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的周期及对称轴的方程；
（2）若x∈[
π
12
，
π
3
]，试求f（x）的值域．

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