Question

如图，椭圆＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k₁，BP所在的直线的斜率为k₂.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．

(1)求k₁·k₂的值；

(2)求MN的最小值；

(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．

Answer 1

解　(1)因为e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＝1.(2分)

设椭圆上点P(x₀，y₀)，有＝1，

所以k₁·k₂＝ (2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，

由方程知＋y²＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，

所以K_BM·k_AN＝ (6分)

又由(1)知k_AN·k_BM＝k₁·k₂＝－，所以x₁x₂＝－12，(8分)

不妨设x₁＜0，则x₂＞0，则

MN＝|x₁－x₂|＝x₂－x₁＝x₂＋＝4，

所以当且仅当x₂＝－x₁＝2时，MN取得最小值4.(10分)

(3)设M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，

则以MN为直径的圆的方程为

(x－x₁)(x－x₂)＋(y＋2)²＝0，(12分)

即x²＋(y＋2)²－12－(x₁＋x₂)x＝0，若圆过定点，

则有x＝0，x²＋(y＋2)²－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，

所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)