题目内容
【题目】如图①所示的等边三角形
的边长为
，
是
边上的高，
，
分别是
边的中点现将
沿折叠，使平面
平面
，如图②所示.
① ②
（1）试判断折叠后直线与平面
的位置关系，并说明理由；
（2）求四面体
外接球的体积与四棱锥
的体积之比.
【答案】（1）
平面
，见解析；（2）
【解析】
（1）由已知中
、
分别为
、
中点，由三角形中位线定理可得
，由线面平行的判定定理可得
平面
（2）以
，
，
为棱补成一个长方体，则四面体
的外接球即为长方体的外接球，进而求出球的体积，和四棱锥
的体积，可得答案．
解：（1）平面，
证明：
、分别是，的中点，
平面，
平面
平面.
（2）以，，为棱补成一个长方体，则四面体
的外接球即为长方体的外接球.
设球的半径为
，则
，
，于是球的体积
.
又
，
，
.
故四面体外接球的体积与四棱锥的体积之比为.
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