Question

【题目】①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；

②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；

③若不存在，则曲线在点处就没有切线；

④若曲线在点处有切线，则必存在.

则以上论断正确的个数是（ ）

A.0个B.1个C.2个D.3个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解.

对于①中，根据函数在点处的切线定义：在曲线的某点附近取点，并使沿曲线不断接近，这样直线的极限位置就是曲线在点的切线. 直线与曲线有且只有一个公共点，但直线不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以不正确；

对于②中，根据导数的定义：

（1）导数：，

（2）左导数：，

（3）右导数：，

函数在点处可导当且仅当函数在点处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数在处的切线，所以不正确；

对于③中，切线与导数的关系：

（1）函数在处可导，则函数在处切线一定存在，切线方程为

（2）函数在处不可导，函数在处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；

对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线在点处有切线，则必存在，所以是正确的.

故选：B.