Question

如图（1），为等边三角形，是以为直角顶点的等腰直角三角形且，为线段中点，将沿折起（如图2），使得线段的长度等于，对于图二，完成以下各小题：

（图1） （图2）

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)线段上是否存在点，使得平面与平面垂直？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) 见解析

(2)

(3) 故线段AB上存在点P，此时线段的长度为

【解析】

试题分析：关于线面垂直的证明问题，注意把线面垂直的判定定理的内容记熟，对于线线、线面垂直的转化要熟悉，注意线面角的求法，并且第一步求出的直接结果就是线面角的正弦值，要看清要求的结果是谁，关于是否存在类问题，注意一般步骤，要先下结论，之后求解，能求出来就说明有，退出矛盾，就说明没有.

试题解析：（1）∵

又∵∴ ∴

同理可证 故垂直面内两条相交直线

则平面 3分

(2) 由(1)知,,又有

故可建如图所示建立空间直角坐标系C-xyz. 4分

∴

∴ ，,,

设平面ABD的一个法向量为，

则，取，得． 6分

设直线AE与平面所成角为θ，

则， 7分

∴设直线AE与平面所成角的正弦值为. 8分

（3）假设存在符合条件的点P,并设()

则

设平面CPE的一个法向量为，

则，取，得． 11分

要使得平面CPE与平面垂直,只需即

解得，

故线段AB上存在点P，使得平面CPE与平面垂直，此时线段的长度为 14分

（说明：①答案提及“存在”而不能说明理由的得1分

②第（3）小题也可设P（2-t,0,t）展开解答）

考点：线面垂直，线面角，面面垂直.