Question

9．设双曲线x²-$\frac{y^2}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，若点P在双曲线上，且△F₁PF₂为锐角三角形，则|PF₁|+|PF₂|的取值范围是$（2\sqrt{7}，8）$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF₂F₁和∠F₁PF₂为直角时|PF₁|+|PF₂|的值，可得△F₁PF₂为锐角三角形时|PF₁|+|PF₂|的取值范围．

解答 解：如图，
由双曲线x²-$\frac{y^2}{3}$=1，得a²=1，b²=3，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2$．
不妨以P在双曲线右支为例，当PF₂⊥x轴时，
把x=2代入x²-$\frac{y^2}{3}$=1，得y=±3，即|PF₂|=3，
此时|PF₁|=|PF₂|+2=5，则|PF₁|+|PF₂|=8；
由PF₁⊥PF₂，得$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=16$，
又|PF₁|-|PF₂|=2，①
两边平方得：$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=4$，
∴|PF₁||PF₂|=6，②
联立①②解得：$|P{F}_{1}|=1+\sqrt{7}，|P{F}_{2}|=-1+\sqrt{7}$，
此时|PF₁|+|PF₂|=$2\sqrt{7}$．
∴使△F₁PF₂为锐角三角形的|PF₁|+|PF₂|的取值范围是（$2\sqrt{7}，8$）．
故答案为：（$2\sqrt{7}，8$）．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．