Question

14．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$
（1）求目标函数z=$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$的最值；
（2）①若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围；
②若目标函数z=ax+2y取最小值时最优解无数多个，求a的取值范围；
③若目标函数z=ax+2y取最大值时最优解无数多个，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得最优解，联立方程组得到直接的坐标，代入目标函数得答案；
（2）化目标函数z=ax+2y为直线方程$y=-\frac{a}{2}x+\frac{z}{2}$，然后逐一核对三个问题求得满足条件的a的范围．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得B（3，4），
化目标函数z=$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-z$，由图可知，当直线z=$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$分别过A，B时，直线在y轴上的截距分别有最小和最大值，
则z分别有最大和最小值，即z_max=1，z_min=-2；
（2）①若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，即直线$y=-\frac{a}{2}x+\frac{z}{2}$仅过点（1，0）时直线在y轴上的截距最小，
∴$-1＜-\frac{a}{2}＜2$，即-4＜a＜2；
②若目标函数z=ax+2y取最小值时最优解无数多个，由图可知，$-\frac{a}{2}=-1$或$-\frac{a}{2}=2$，即a=-4或a=2；
③若目标函数z=ax+2y取最大值时最优解无数多个，由图可知，$-\frac{a}{2}=1$，即a=-2．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．