Question

4．已知函数f（x）=log_a（x-b）（其中a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过两点M（3，0），N（6，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=（$\frac{a}{b}$）^2x-6（$\frac{a}{b}$）^x+5，x∈[1，3]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由代入法求解函数解析式；
（2）是指数函数与二次函数的复合，转化成二次函数的最值问题即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（x-b）（其中a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过两点M（3，0），N（6，1）．
∴f（3）=0，f（6）=1，
∴log_a（3-b）=0，log_a（6-b）=1
∴a=4，b=2，
∴f（x）=log₂（x-2）
（2）g（x）=2^2x-6•2^x+5，x∈[1，3]，
设t=2^x，则t∈[2，8]，g（t）=t²-6t+5=（t-3）²-4
∴函数g（t）在[2，3]上单调递减，在[3，8]上单调递增．
∴t=3时，g（t）有最小值-4，t=8时，g（t）有最大值21，
∴g（x）的值域为[-4，21]．

点评 此题主要考查指数函数与二次函数的复合，从而转化成二次函数的最值问题，难度不大，是一道基础题目．