题目内容
已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣D的正切值．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣D的正切值．
证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，
∴OF∥PA．
∵OF
平面BFD，PA
平面BFD，
∴PA∥平面BFD．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，
∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角C﹣BF﹣D的平面角．
∵PA=AD=AC，
∴
，
．
在Rt△FOB中，OH=
PA，
∴
．
∴二面角C﹣BF﹣D的正切值为
．
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，
∴OF∥PA．
∵OF
平面BFD，PA平面BFD，∴PA∥平面BFD．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，
∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角C﹣BF﹣D的平面角．
∵PA=AD=AC，
∴
，．在Rt△FOB中，OH=
PA，∴
．∴二面角C﹣BF﹣D的正切值为
．
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