Question

已知函数f(x)

1

3

ax3+bx2+x+3，其中a≠0．
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，由a≠0，分a＞0，a＜0讨论可求解
（2）f（x）在区间（0，1]上单调递增，可得f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax²+2bx+1=0，必须有解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
此时方程ax²+2bx+1=0的根为
x₁=

-2b- 4b2-4a

2a

=

-b- b2-a

a

，x₂=

-2b+ 4b2-4a

2a

=

-b-+ b2-a

a

，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
当a＞0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值．
当a＜0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值．
综上，当a，b满足b²＞a时，f（x）取得极值．
（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥-

ax

2

-

1

2x

，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥-(-

ax

2

-

1

2x

) max
设g（x）=-

ax

2

-

1

2x

，g′（x）=-

a

2

+

1

2x2

=

a(x2- 1 a )

2x2

，
令g′（x）=0得x=

1

a

或x=-

1

a

（舍去），
当a＞1时，0＜

1

a

＜1，当x∈（0，

1

a

]时g′（x）＞0，g（x）=-

ax

2

-

1

2x

单调增函数；
当x∈（

1

a

，1]时g′（x）＜0，g（x）=-

ax

2

-

1

2x

单调减函数，
所以当x=

1

a

时，g（x）取得最大，最大值为g（

1

a

）=-

a

．
所以b≥-

a

当0＜a≤1时，

1

a

≥1，
此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立，
所以g（x）=-

ax

2

-

1

2x

在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-

a+1

2

，
所以b≥-

a+1

2

综上，当a＞1时，b≥-

a

；
0＜a≤1时，b≥-

a+1

2

；

点评：本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由f′（x）＞0，解得函数的单调增区间；反之函数在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进而转化为求函数在区间[a，b]上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．