Question

已知函数f(x)=

1

3

(k-1)x3+

1

2

(k-1)x2+x在（-∞，+∞）上是增函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：函数y=f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，即导数y=f'（x）在（-∞，+∞）上恒大于或等于0，由此讨论关于x的不等式（k-1）x²+（k-1）x+1≥0在R上恒成立，建立k所满足的不等关系，解之即得实数k的取值范围．

解答：解：对函数f(x)=

1

3

(k-1)x3+

1

2

(k-1)x2+x求导数，得
f'（x）=（k-1）x²+（k-1）x+1
∵函数f(x)=

1

3

(k-1)x3+

1

2

(k-1)x2+x在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f'（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立
得k-1=0或

k＞0 (k-1)2-4(k-1)≤0

，解之得1≤k≤5
∴k的取值范围是：[1，5]

点评：本题给出三次多项式函数在R上是增函数，求参数k的取值范围，着重考查了运用导数讨论函数的单调性和一元二次不等式恒成立等知识，属于基础题．