Question

(20)如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB=1，BB₁=+1，E为BB₁上使B₁E=1的点，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G.求：

（Ⅰ）异面直线AD与C₁G所成的角的大小；

（Ⅱ）二面角A-C₁G-A₁的正切值.

Answer 1

 

   解法一：

   （Ⅰ）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.

         连接C₁F。因为AE和C₁F分别是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以AE∥C₁F，由此可得D₁F=BE=.再△FD₁G∽△FDA得D₁G=.

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G＝得∠C₁GD₁＝.

   (Ⅱ)作D₁H⊥C₁G于H，连接FH，由三垂线定理知FH⊥C₁G，故∠D₁HF为二面角F-C₁G-D₁即二面角A-C₁G-A₁的平面角.

     在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=得D₁H=.从而

tanD₁HF=

解法二：

（Ⅰ）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.

因为EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C与AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以EC₁∥AF.

由此可得∠AGA₁=∠EC₁B₁=，

从而A₁G=AA₁=，于是D₁G=

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=得∠C₁GD₁=

（Ⅱ）在△A₁C₁G中，由∠C₁A₁G=，∠A₁GC₁=知∠A₁C₁G为钝角，作A₁H⊥GC₁交GC₁的延长线于H，连接AH.由三垂线定理知GH⊥AH，故∠AHA₁为二面角A-C­₁G­-A₁的平面角.

在Rt△A₁HG中，由A₁C=，∠A₁GH=得A₁H=

从而  tanAHA₁=

解法三：

（Ⅰ）以A₁为原点，A₁B₁，A₁D₁，A­₁A所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.于是,A（0，0，+1），C₁（1，1，0），D（0，1，+1），E（1，0，1）、=（0，1，0），=（0，1，－1）

因为EC₁和AF分别是平行平面BB₁C­₁C和AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以EC₁∥AF，设G（0，y，0），

则

由∥得于是y=+1.

故G（0，+1，0）（－1，，0）.

设异面直线AD与C₁G所成的角的大小为θ，则

从而    θ=

（Ⅱ）作A₁H⊥C₁G于H.由三垂线定理知AH⊥CH，故∠AHA₁为二面角A-C₁G-A₁的平面角.

设H（a，b，0），则

由A₁H⊥C­₁G得，由此得a－b=0.        ①

又由H₁C₁，G共线得∥，从而于是

      ②

联立①和②得a=

由|得

tan AHA₁=