Question

现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH为6米，底座BCDEF是以B为顶点，以CDEF为底面的正四棱锥，C，D，E，F在以半径为1米的圆上，支杆AB⊥底面CDEF．市场上，底座单价为每米10元，支杆AB单价为每米20元．设侧棱BC与底面所成的角为θ．
（1）写出tanθ的取值范围；
（2）当θ取何值时，支架总费用y（元）最少？

Answer 1

分析：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，所以tanθ的最大值为6，从而得出tanθ的取值范围；
（2）先写出支架总费用y的函数表达式：y=4×10×

1

cosθ

+20(6-tanθ)，设f(θ)=

2

cosθ

-tanθ，其中tanθ∈（0，6]通过换元转化成积是定值；求和的最小值问题；再利用基本不等式解．

解答：解：（1）因支架总高度AH为6米，且C，D，E，F在以半径为1米的圆上，
∴tanθ的最大值为6．可得tanθ∈（0，6]（3分）
（2）y=4×10×

1

cosθ

+20(6-tanθ)（7分）
=20×(

2

cosθ

-tanθ)+120，（8分）
设f(θ)=

2

cosθ

-tanθ，其中tanθ∈（0，6]（9分）
则f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

，..（11分）
当θ=

π

6

时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

=0；
当θ∈(0，

π

6

)时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＜0；当θ∈(

π

6

，

π

4

)时，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＞0；（13分）
则当θ=

π

6

时，f（θ）取得最小值，满足tanθ∈（0，6）（14分）
则当θ=

π

6

时，费用y最小（15分）

点评：本题给出实际应用问题，考查解三角形、数学上的换元思想和用基本不等式求函数最值等知识，解答的关键是利用三角函数得出总费用y的函数表达式．