Question

四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．
（1）求证：EF∥面PAB
（2）求证：EF⊥面PBD
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取PB的中点为M连结AM，MF，因为F为PC的中点，所以FM

∥

.

1

2

BC，又ABCD是平行四边形，
E为AD的中点，所以AMFE是平行四边形，
所以EF∥面PAB．
（2）因为PA=PB=AB=

1

2

AD，M是PB的中点，所以AM⊥PB，∠BAD=60°，所以AB⊥BD，
因为面PAB⊥面ABCD，所以BD⊥平面PAB，所以AM⊥BD，
又PB∩BD=B，所以AM⊥面PBD．EF∥AM，
所以EF⊥面PBD．
（3）由（2）可知BD⊥平面PAB，作BN⊥PA于N，
显然N是PA的中点，连结ND，
则∠BND就是二面角D-PA-B的平面角，
设PA=PB=AB=

1

2

AD=2，所以AN=1，AD=4，BD=

42-22

=

12

，
BN=

22-12

=

3

，所以ND=

( 12 )2+( 3 )2

=

15

，
所以二面角D-PA-B的余弦值为：

BN

DN

=

3

15

=

5

5

．